Por que 0! = 1?

Resultado da pesquisa no Google:

R1 – Pense de onde veio a definicao de fatorial. Imagine que tu tens 5 pessoas para organizar numa fila. De quantas formas diferentes tu podes organizar a fila? Pra primeira posicao da fila voce pode escolher uma entre 5, pra segunda, uma entre 4, e assim por diante, resultando em 5*4*3*2*1 = 5!. Pra n pessoas, a mesma coisa: n!. Agora, imagine que tu tens so uma pessoa. De quantas formas tu podes fazer a fila? 1! = 1. Finalmente, de quantas formas tu podes fazer a fila se nao ha pessoa alguma pra organizar? De uma forma so (fila vazia). Pra isso, 0! = 1.

R2 – Porque o fatorial é uma particularização de uma função chamada Gama (que é definida para todos os números reais, exceto os inteiros negativos). Essa tal função gama tem todas as propriedades do fatorial.
Então 0! = 1 pois Gama(0) =1
A definição da Gama necessita de matemática superior para ser compreendida, mas entenda que vem do cálculo de uma área.

R3 – Os fatoriais têm a seguinte propriedade: n*(n-1)! = n!
Assim, podemos escrever: (n-1)! = n!/n
Fazendo n = 1, podemos encontrar o fatorial de 0:
(1-1)! = 1!/1
0! = 1/1
Portanto, podemos dizer que o fatorial de zero é igual a 1.

R4 – Convenção uma pinóia.
Basta notar que n!=n*(n-1)!;Fazendo n=1,temos 1!=1*(0!)=>
0!=1.Simples assim.

[A resposta acima leva à estranha ideia de que 0 x (0-1)! = 1 --- isto é, 0 x (-1)! = 1. A implicação é que o fatorial (supostamente impossível) de um número negativo, no caso -1, é um número tal que, multiplicado por zero, dá um! TEORIA DO ZERO À ESQUERDA em questão! Mas R3, a resposta anterior, talvez "cure" esta impressão inicial...]

R5 [Edu Viana] – Fatorial de zero ?
Caros .. intrigante .. mas o fatorial de zero é 1. Pq ????
Por definição, o fatorial de um número é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. Representamos o fatorial de n por n!…. logo

n! = n * (n-1) * ( n-2)…. então podemos escrever n! = n * ( n-1)!
Assim … 2! = 2×1 = 2 … como fatorial de 1 é igual a 1…
temos, 1 = 1 * 0! … logo fatorial de zero tem que ser igual a 1.

R6 – Wiki

Note que esta definição implica em particular que

0! = 1\,\!

porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva

(n + 1)! = n! \times (n + 1)

funcione para n = 0.

R7

Eu conheço apenas a interpretação vinculada ao
>> > > número de subconjuntos. Como Cn,p é igual ao número de
>> > > subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos,  então
>> > > Cn,0 = 1 indica o número
>> > de subconjuntos de 0 elementos, a saber, o
>> > > vazio.
>> > >
>> > > Porém, se C8,3 indica o número de comissões
>> > > de 3 pessoas num grupo de 8, como aceitar que o número de
>> > > comissões de
>> > zero
>> > > pessoas é igual C8,0=1?
>> > >
>> > > Se A5,3 fornece o número de senhas de 3 letras
>> > > distintas a partir de um universo de 5, como aceitar que deste
>> > > mesmo
>> > universo é
>> > > possível obter uma senha de zero letras, isto é, A5,0 = 1?
>> > >
>> > >  Grato,
>> > >  Jorge

R8

Acho que nao eh um postulado, mas sim uma definicao. Da mesma forma
>> > que, por definicao, a^n = a*....*a (n vezes) para n inteiro
>> > positivo. Da mesma forma que, por definicao, Gama(x) = Integral (0
>> > a oo) e^(-t) t^(x -1) dx
>> >
>> > Se eu fosse um cara prepotente, poderia definir número de Artur
>> > como ln(1 + arctan(e^2 - 3,79)^pi)) + cosh(pi^e^+ e^(1,21pi.
>> > Contrariamente a outras cosntantes, nao serve para nada, uma
>> > definicao idiota, as seria uma definicao, nao um postulado.
>> >
>> > Artur

R9

Olá ^.^
eu costumo pensar no fatorial como uma função definida por recorrência
uma função f(n) que satisfaz a equação funcional ou recorrencia
f(n+1)=f(n).(n+1) para n natural
sendo uma recorrência de  ordem 1 precisa de uma condição inicial
que tomamos f(0)=1, porém se tomarmos outra condição inicial como f(1)=1
podemos deduzir f(0)=1 atraves da recorrencia, pois

f(1)=1.f(0), f(1)=f(0), logo f(0)=1

se definirmos outra condição inicial f(2), ao inves de f(1) ou f(0), por exemplo
definindo f(2)=2, podemos deduzir que f(1)=1
pois

f(2)=2.f(1)=2, f(1).2=2 logo f(1)=1

e assim por diante, se definimos f(n) pra algum número natural n0,
podemos achar os outros números a partir da recorrência, pois sendo
uma recorrência de ordem 1 ela fica definida por apenas 1 condição
inicial que pode ser qualquer.

a função f(n) que satisfaz f(n+1)=f(n).(n+1) pra n natural, e a condição inicial
f(0)=1, podemos definir como fatorial de n, f(n)=n!

sendo f(n) diferente de zero pra todo n, podemos tomar

f(n+1)/f(n) =(n+1)
e tomar o produtorio de ambos lados, fazendo o n variar de n=0 até p-1

Prod [n=0,p-1] f(n+1)/f(n)= Prod [n=0, p-1](n+1)
no primeiro lado, temos uma propriedade semelhante a soma telescópica,
o resultado ficando apenas
f(p+1)/f(0) =Prod [n=0, p-1](n+1)

assim

f(p+1)=f(0).Prod [n=0, p-1](n+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n)
isto é
f(p+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n)
depende do valor que damos para f(0)
que é nossa condição inicial pro fatorial.
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Uma resposta to “Por que 0! = 1?”

  1. Idalecio Says:

    Primeiramente, cabe ressaltar que fatorial de um número é o resultado da sua multiplicação pelos seus anteiros inteiros. Como o número “1″ é neutro na multiplicação, o processo de multiplicar já deveria encerrar no “2″. Assim, muito menos, poderia se pensar em fatorial de “1″ , considerando que depois dele nenhum outro inteiro existe. Pura formalidade ou preciosismo matemático. E fatorial de “0″l? Absurdo!!! Ele não é, sequer, inteiro. Como fatorial de “1″ não existe e de “0″ é impossível, convencionou-se a eles o número neutro “1″ como fatorial.

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