Por que 0! = 1?

18 de fevereiro de 2011

Resultado da pesquisa no Google:

R1 – Pense de onde veio a definicao de fatorial. Imagine que tu tens 5 pessoas para organizar numa fila. De quantas formas diferentes tu podes organizar a fila? Pra primeira posicao da fila voce pode escolher uma entre 5, pra segunda, uma entre 4, e assim por diante, resultando em 5*4*3*2*1 = 5!. Pra n pessoas, a mesma coisa: n!. Agora, imagine que tu tens so uma pessoa. De quantas formas tu podes fazer a fila? 1! = 1. Finalmente, de quantas formas tu podes fazer a fila se nao ha pessoa alguma pra organizar? De uma forma so (fila vazia). Pra isso, 0! = 1.

R2 – Porque o fatorial é uma particularização de uma função chamada Gama (que é definida para todos os números reais, exceto os inteiros negativos). Essa tal função gama tem todas as propriedades do fatorial.
Então 0! = 1 pois Gama(0) =1
A definição da Gama necessita de matemática superior para ser compreendida, mas entenda que vem do cálculo de uma área.

R3 – Os fatoriais têm a seguinte propriedade: n*(n-1)! = n!
Assim, podemos escrever: (n-1)! = n!/n
Fazendo n = 1, podemos encontrar o fatorial de 0:
(1-1)! = 1!/1
0! = 1/1
Portanto, podemos dizer que o fatorial de zero é igual a 1.

R4 – Convenção uma pinóia.
Basta notar que n!=n*(n-1)!;Fazendo n=1,temos 1!=1*(0!)=>
0!=1.Simples assim.

[A resposta acima leva à estranha ideia de que 0 x (0-1)! = 1 — isto é, 0 x (-1)! = 1. A implicação é que o fatorial (supostamente impossível) de um número negativo, no caso -1, é um número tal que, multiplicado por zero, dá um! TEORIA DO ZERO À ESQUERDA em questão! Mas R3, a resposta anterior, talvez “cure” esta impressão inicial…]

R5 [Edu Viana] – Fatorial de zero ?
Caros .. intrigante .. mas o fatorial de zero é 1. Pq ????
Por definição, o fatorial de um número é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. Representamos o fatorial de n por n!…. logo

n! = n * (n-1) * ( n-2)…. então podemos escrever n! = n * ( n-1)!
Assim … 2! = 2×1 = 2 … como fatorial de 1 é igual a 1…
temos, 1 = 1 * 0! … logo fatorial de zero tem que ser igual a 1.

R6 – Wiki

Note que esta definição implica em particular que

0! = 1\,\!

porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva

(n + 1)! = n! \times (n + 1)

funcione para n = 0.

R7

Eu conheço apenas a interpretação vinculada ao
>> > > número de subconjuntos. Como Cn,p é igual ao número de
>> > > subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos,  então
>> > > Cn,0 = 1 indica o número
>> > de subconjuntos de 0 elementos, a saber, o
>> > > vazio.
>> > >
>> > > Porém, se C8,3 indica o número de comissões
>> > > de 3 pessoas num grupo de 8, como aceitar que o número de
>> > > comissões de
>> > zero
>> > > pessoas é igual C8,0=1?
>> > >
>> > > Se A5,3 fornece o número de senhas de 3 letras
>> > > distintas a partir de um universo de 5, como aceitar que deste
>> > > mesmo
>> > universo é
>> > > possível obter uma senha de zero letras, isto é, A5,0 = 1?
>> > >
>> > >  Grato,
>> > >  Jorge

R8

Acho que nao eh um postulado, mas sim uma definicao. Da mesma forma
>> > que, por definicao, a^n = a*....*a (n vezes) para n inteiro
>> > positivo. Da mesma forma que, por definicao, Gama(x) = Integral (0
>> > a oo) e^(-t) t^(x -1) dx
>> >
>> > Se eu fosse um cara prepotente, poderia definir número de Artur
>> > como ln(1 + arctan(e^2 - 3,79)^pi)) + cosh(pi^e^+ e^(1,21pi.
>> > Contrariamente a outras cosntantes, nao serve para nada, uma
>> > definicao idiota, as seria uma definicao, nao um postulado.
>> >
>> > Artur

R9

Olá ^.^
eu costumo pensar no fatorial como uma função definida por recorrência
uma função f(n) que satisfaz a equação funcional ou recorrencia
f(n+1)=f(n).(n+1) para n natural
sendo uma recorrência de  ordem 1 precisa de uma condição inicial
que tomamos f(0)=1, porém se tomarmos outra condição inicial como f(1)=1
podemos deduzir f(0)=1 atraves da recorrencia, pois

f(1)=1.f(0), f(1)=f(0), logo f(0)=1

se definirmos outra condição inicial f(2), ao inves de f(1) ou f(0), por exemplo
definindo f(2)=2, podemos deduzir que f(1)=1
pois

f(2)=2.f(1)=2, f(1).2=2 logo f(1)=1

e assim por diante, se definimos f(n) pra algum número natural n0,
podemos achar os outros números a partir da recorrência, pois sendo
uma recorrência de ordem 1 ela fica definida por apenas 1 condição
inicial que pode ser qualquer.

a função f(n) que satisfaz f(n+1)=f(n).(n+1) pra n natural, e a condição inicial
f(0)=1, podemos definir como fatorial de n, f(n)=n!

sendo f(n) diferente de zero pra todo n, podemos tomar

f(n+1)/f(n) =(n+1)
e tomar o produtorio de ambos lados, fazendo o n variar de n=0 até p-1

Prod [n=0,p-1] f(n+1)/f(n)= Prod [n=0, p-1](n+1)
no primeiro lado, temos uma propriedade semelhante a soma telescópica,
o resultado ficando apenas
f(p+1)/f(0) =Prod [n=0, p-1](n+1)

assim

f(p+1)=f(0).Prod [n=0, p-1](n+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n)
isto é
f(p+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n)
depende do valor que damos para f(0)
que é nossa condição inicial pro fatorial.
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Notas Matemáticas

4 de outubro de 2010
  • Interessante a concepção de ralo como “torneira negativa”.
  • Conjunto vazio: ¿ estou autorizado, pela definição de conjunto, a admitir que a cor vermelha é subconjunto de A ? Ocorre que, se a cor vermelha não for subconjunto de A, então ela possui pelo menos um elemento que não é elemento de A. Mas a cor vermelha não possui elementos. Logo, é subconjunto de A!
  • Anti-Vestibular: O aprendizado de matemática é extremamente prejudicado pelo vestibular, porque há uma obsessão com “o que vai cair no vestibular” e assim mil conceitos, esclarecimentos e dados fascinantes são ocultados por um véu. Oras, por que os alunos não podem saber sobre (e perder o fôlego com) o fato de que, além dos números complexos, ainda há os hiper-reais, os quatérnions, etc.? Mencione-se e dê uma explicação rápida – nada a ser decorado, mas é um conhecimento que inspira e, acima de tudo, coloca em perspectiva o que está sendo visto! Ou imagine saber que os conjuntos estão na base dos fundamentos matemáticos, e que conjuntos se FAZEM números! Ou que as funções darão a natureza do infinito! Diabos, quando desperdício de emoção!
  • (22.10.10) Explicar Divisão: É importante, nessa explicação, deixar claros os casos onde se “cortam” vários números e coisas do tipo. Que, por exemplo, a.a.b/a.b fica a (não se corta duas vezes).
  • (12.02.11) Análise Combinatória: As duas coisas que importam é se há repetição e se a ordem importa. Sem ordem e sem repetição, temos uma “combinação sem repetição” (é o que seria, acho, mas não vi tal caso). Com ordem e sem repetição, temos um “arranjo simples”. Com ordem e com repetição, um “arranjo com repetição”. E sem ordem, mas com repetição, uma “combinação”. A “permutação” é um arranjo especial (onde n elementos são tomados n-a-n).
  • Ainda AC, uma boa diferença entre arranjo e combinação é notar que 123 é diferente de 321 (arranjo), mas os bombos 1, 2 e 3, nesta ordem, são um grupo idêntico aos bombons 3, 2 e 1 (combinação).
  • (13.10.11) Inequação Quociente: É interessante notar que algo como (x – 4)/(3x + 1) > -2 não pode ser feito diretamente, pela razão de que há infinitos números que, apesar de serem maiores que -2, são ainda assim negativos. À diferença disto, não há sequer um número que, sendo maior que zero, seja negativo. E por causa disso a análise de sinais funciona exclusivamente com o zero. Ser maior ou menor que zero já significa ser negativo ou positivo, e a interação de sinais entre numerador e denominador basta para saber isso. Já ser maior ou menor que qualquer outro número não diz nada sobre a positividade ou negatividade. Isso não deixa de ser intrigante. Zero é “ontologicamente” especial nesse caso? Ou se trata de um artifício de nossas convenções? Funcionaria se chamássemos de “positivos²” e “negativos²” os números maiores e menores que 2? Negativo² com negativo² dá positivo²? Vejamos: (-3) x 1 = (-3), não dá positivo². Então não adianta! Zero parece mesmo especial. Que espécie de propriedade são a positividade e a negatividade?
  • (13.10.11) A mesma coisa diferente (rs): Note como, ao pegarmos (x – 4)/(3x + 1) + 2 e “multiplicarmos a segunda parcela por um”, com vistas igualar o denominador, arriscamos cometer uma falha. Afinal, não se pode multiplicar nada por 0/0 e, no entanto, é precisamente isto o que significa a expressão (3x + 1)/(3x + 1) para o caso de x = (-1/3). Mas, “por acaso” (?), este valor de x já está impedido pelo simples fato de não podermos ter zero no denominador. Eu me pergunto se isto é, estritamente falando, uma coincidência “meta-lógica” ou meramente a mesma coisa. Isto importa para ilustrar que operações matemáticas de consequências iguais podem, ainda assim, diferir semanticamente – e que espécide de consequência prática (e portanto que matemáticos levassem a sério) essa diferença poderia ter?
  • (13.10.11) Relações e funções – aleatoriedade vs determinismo? Observando relações não-funcionais, onde um x pode gerar mais de um y (pense no √x = ±y), me veio a questão do determinismo à mente. Certamente há de ser possível criar uma matemática aleatória, onde o resultado de uma operação é aleatório entre algumas possibilidades. Seria possível programar isso? Quero dizer: programar de forma puramente matemática, sem a ajuda de supostos aleatórios quânticos?

Curso Paralelo de Matemática

3 de outubro de 2010

Número

É chocante como coisas fulminantemente claras, como a natureza simples do número 1, que qualquer criança de seis anos entende plenamente, podem rapidamente ganhar ares de parodoxo e obscuridade total.

Antes de você ficar perplexo com os números negativos e os números “quebrados” (ou racionais – como o “dois e meio”: 2,5), ou mesmo com certas coisas estranhas na soma simples (para não falar em números complexos, sequências infinitas, divisões por zero, etc.), já há mistério suficiente no simples número 1. Quer dizer: ainda nem estamos vendo o portão do país das maravilhas e as coisas já estão prestes a ficar loucas. E se acostume: solo firme, em matemática, só existe na cabeça dos que levam a sério todas aquelas desculpas esfarrapadas que são ensinadas no colégio.

Err… É pior. Estamos até adiantados. Falar do número 1 é um luxo que só teremos depois de termos pelo menos a vergonha na cara de perguntar – e responder da melhor forma que conseguirmos – “o que é número?”.

Aposto que você está na situação de Santo Agostinho, quando falou sobre o tempo: “se não me perguntam, eu sei o que é; se me perguntam, eu não sei”.

Justo. Não se sinta mal. Os filósofos até hoje não sabem, pra valer, o que é número. Dois mil anos e ainda não sabem?! Quanta incompetência! Bem, talvez seja mesmo… Mas provavelmente o problema é osso duríssimo mesmo.

Claro: número é aquilo que o 1, o 2 e o 5766 são, seja lá que “coisas” eles forem. Mas saber isso intuitivamente, “por alto”, já é suficiente pra começar a descobrir a matemática, e de fato os babilônios começaram.

Eu defenderia que números são quantidades específicas. Sim, pois há quantidades não específicas. “Muitos”, por exemplo, é uma quantidade vaga, que não foi especificada. Outros exemplos são “alguns”, “boa parte”, “todos”, “meados”, etc. Aliás, a lógica simbólica, prima da matemática, pode ser pensada como uma “matemática das quantidades não específicas” – e assim você faz aquele tipo estranho de “cálculo”, onde “se todos os homens são mortais, e Sócrates é homem, então Sócrates é mortal” (isso já deu no saco, aliás, e deveriam fazer uma pesquisa sobre a falta de criatividade absurda que aflige a humanidade, quando se trata de dar exemplos de raciocínio lógico).

De fato, se você revirar o cálculo lógico do avesso, consegue montar quantidades específicas a partir de quantidades vagas – logo, você consegue montar números.

Isso sem dúvida ocorre no cálculo lógico, no entanto eu receio que minha interpretação do fato vá gerar controvérsia. Eles, os policiais da lógica e matemática (eu sou o Batman, e tento fazer o bem de um jeito que eles desaprovam, mas que funciona bem melhor), concordariam que números são definidos logicamente – mas achariam decerto tola minha visão de que números são quantidades específicas, e o resto da lógica trata de quantidades não específicas.

Há muita confusão potencial aqui, como perder tempo com o fato inócuo de que você pode raciocinar logicamente, e de forma não matemática, sobre quantidades específicas – por exemplo, como em “se duas pessoas são suficientes pra carregar uma TV e se três ladrões entraram na casa, então a TV pode ser roubada”. A verdade é que tal raciocínio lógico depende, em parte, de matemática – como outros poderiam depender de física ou química, ou da legislação vigente. Simples assim.

O cerne da questão, aqui, é que a matemática considera “números” uma classe de coisas que resistem a ser consideradas “quantidades específicas” – ou mesmo quantidades ever! Os números complexos, por exemplo, representam posições bidimensionais, e não quantidades – ou essa é a interpretação “oficial”. E o infinito, esse o maior problema, é considerado um número. Um só número. Falam de “o infinito”, como se fosse uma coisa só. Notem que não falam de “o finito” como se fosse uma coisa só. O finito não é uma quantidade específica, e sim inespecífica. Segundo minha visão, não é um número, portanto. Números são os casos particulares da classe finita, como o 34 e o 299. E imagino que haja números infinitos.

Enfim… A simples defesa de que números são quantidades específicas é problemática. Mas sem dúvida um ótimo começo.

Assim, podemos falar do número 1.

Ele é a quantidade… de um!

Agora você ri, superior, de uma coisa tão tediosamente óbvia, mas logo vai desejar ardentemente, e em vão, que a coisa fosse tão simples.

Gottlob Frege fez um livro só pra responder o que é 1.

Lá pelas tantas, ele nos choca com um problema enloquecedor.

Em 1 + 1 = 2, o primeiro “1” não pode ser o mesmo número 1 que o segundo “1” – afinal, algo somado a si mesmo, só pode dar si mesmo. Duvida? Basta pegar a maçã na sua mão, que é uma, e somar a ela própria, que também é uma – se você obtiver duas maçãs nessa soma, resolveu o problema da fome no mundo. Então, em 1 + 1 = 2, não podemos ter dois números estritamente iguais na soma. E, no entanto, tampouco podemos ter dois números diferentes.

De repente, toda a matemática parece impossível.

E Frege passa o livro inteiro tentando compreender como funciona essa estranha mistura de igualdade e diferença pairando sobre a simples soma 1 + 1 = 2. Nessas horas a gente entende Millôr Fernandes:

“A filosofia pouco a pouco obscurece aquilo que, intuitivamente, era tão claro!”

Curso Paralelo de Matemática

Estranheza Modular

2 de outubro de 2010

Se 3 – 5 é igual a -2, e | 3 – 5 | = 2, vejamos…

Se a distância da sua casa até a padaria é 3, e a distância de sua casa até a escola é 5 (na mesma direção), então qual a distância da escola até a padaria? Bem, é 2…

▲_ _ _ ◙_ _◘

3 + 2 = 5

3 = 5 – 2

3 – 5 = -2

Nó na cabeça… Não deu o resultado concreto que eu queria. Ficou apenas que a distância até a padaria, subtraída da distância até o colégio, faz “dever” a distância padaria-colégio…

Eu queria um exemplo concreto de “medida negativa”… Talvez um “sentido negativo” seja possível… sono…

Aforismos Matemática

28 de setembro de 2010

● A nomenclatura matemática, quando não é totalmente nonsense, defasada ou antiquada, é irônica. Os “produtos notáveis” são na verdade a coisa mais difícil de ser notada num cálculo, e os “números imaginários” são, isto sim, inimagináveis!

Didática Matemática

28 de setembro de 2010

http://www.youtube.com/watch?v=EFn8guBXqCk&feature=channel

Estou estudando “matriz inversa” aqui, coisa de louco… E, enquanto assisto à aula (que estou vendo pra relaxar, depois de ter dor de cabeça de tanto fazer exercício), fiquei observando a didática da coisa. O rapaz do vídeo, Nerckie, é bom; mas ainda assim não difere em estilo do professor comum.

E o que eu observo?

A preocupação maníaca em destacar quando um certo cálculo é fácil; ou, quando é bem difícil, enfatizar sua importância ou, quando nem isso seria honesto, lamentar a dificuldade – como que se irmanando ao aprendiz em dificuldade.

Isso não parece alguma técnica didática e sim um efeito automático de uma cultura onde o ensino é compulsório, onde sabe-se que as pessoas estão ali quase certamente obrigadas a engolir aprender o conteúdo. E o que a coisa tem de fascinante é completamente deixada de lado em nome de duas pressuposições… 1) que o aluno quer e precisa saber o puro mecanismo, o mínimo pra “funcionar” no vestibular e 2) que está sempre prestes a desistir do martírio, razão pela qual é instintivo adulá-lo constantemente.

Alguém como eu, que está aprendendo por pura paixão de entender os fatos matemáticos, fica frustradíssimo com esse estilo – que grassa em toda parte onde se educa. De algum modo, sinto que as pessoas passam no vestibular, até se formam, e tiveram o dobro de esforço para nem um quinto do ganho intelectual – essa percepção estará correta, sobretudo, se for verdade que a matemática é muito mais dolorosa e maçante no começo (mas isso é algo que ainda estou prestes a descobrir, embora eu já esteja até chocado com o quanto certas coisas antes dificílimas e enlouquecedoras agora fluem…).

Não sei onde minha obstinação pela verdade (nesse ponto, a verdade matemática – mas desejo ir além) irá levar, mas eu quereria muito ser capaz de apresentar, um dia, um modelo explicativo, um método didático, que seja exatamente como aquele que, hoje, eu tento encontrar e nunca acho. Um modo de explicar que não se preocupe com pessoas que aprendem forçadamente, mas só com as que desejam aprender – e tenho até uma esperança romântica de que tal método cative muito mais do que a didática enlatada que tanto me chateia hoje.

Quem sabe, quem sabe…

O futuro dirá…

Coming Soon

21 de junho de 2010

“A verdade está lá fora”
– Arquivo X

Já há algum tempo que tenho a ideia de publicar o manancial de retalhos, citações, rascunhos, notas, debates, e-mails, esboços, links, quotes, textos inacabados, textos antigos, revisões (minhas ou alheias), comentários (de textos, de vídeos, de livros, de imagens, etc.), todos lotados de especulações, teorias, pitacos, chutes, aforismos, apreciações, e enfim… Uma quase lixeira intelectual, emocional e ideológica que se amontoa em meus HDs e cadernos.

Obviamente, nem o site, nem o blog principal, são local adequado pra isso. Então resolvi criar este Baú Paralelo, com um climão de porão (nem tão) desorganizado, onde meu compromisso com a verdade, a elegância, a precisão, é zero.

Sem mais, divirta-se na bagunça!

MIDIARTE

Música

O novo Capital Inicial – Das Kapital – primeira audição
O novo Pato Fu – Música de Brinquedo – expectativas

Cinema

[REC]²
Jogos Mortais VI

A Fantástica Fábrica de Chocolates
(1971)
Toy Story 3

Literatura

1984 (George Orwell)
Cem Anos de Solidão
(Gabriel García Marquez)
Demian + O Lobo da Estepe
(Herman Hesse)
O Pequeno Príncipe
(Exupèry)

REALIDADE

Ciência

Memética (debate)

PARANOIA

Ufologia

A chuva de Kerala

Fortianismo

Que fim levou a bruxa voadora?

IDEALISMO

Capitalismo

Uma ideia contra o consumismo

Ateísmo

Comentário a Eledous

Poliamor

Ciúmes são naturais, e não culturais (debate)

FILOSOFIA

Filosofia da Mente

O Mistério da Consciência (debate)
E as imagens copiadas do cérebro? (comentário)

Matemática

Por que nº = 1? E por que 25¹/² = 5?
Qual a natureza do Infinito?
Como pensar os números complexos?
Comentário a Os Fundamentos da Aritmética (Frege)

Lógica

Comentário a Gödel, Escher, Bach (Hofstadter)

Memética (debate)

Olá, mundo!

17 de junho de 2010

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